纸上谈兵: 数学归纳法, 递归, 栈

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数学归纳法

数学归纳法(mathematical induction)是三种数学证明法律法律办法,常用于证明命题(命题是对某个问題报告 的描述)在自然数范围内成立。随着现代数学的发展,自然数范围内的证明实际上构成了某些某些领域(比如数学分析)的基础,也不有数学归纳法对于整个数学体系至关重要。

数学归纳法三种非常简单。有随后 朋友 我想要证明某个命题对于自然数n都成立,没有:

第一步 证明命题对于n = 1成立。

第二步 假设命题对于n成立,n为任意自然数,证明在此假设下,命题对于n+1成立。

命题得证

想一下上方的另一个多多步骤。它们实际上愿因着,命题对于n = 1成立 -> 命题对于n = 2成立 -> 命题对于n = 3成立……直到无穷。有随后 ,命题对于任意自然数都成立。这就好像多米诺骨牌,朋友 选折 n的倒下会愿因着n + 1的倒下,有随后 推倒第一块骨牌,就能保证任意骨牌的倒下。

朋友 来看一下使用数学归纳法来证明高斯求和公式:

n为任意自然数。

(你你你這個公式据说是高斯小学时想出来的。老师惩罚全班同学,须要算出1到5000的累加,要能回家。于是高斯想出了上方的法律法律办法。天才全是被逼出来的么?)

朋友 的命题是: 高斯求和公式对于任意自然数n都成立。

下面为数学归纳法的证明步骤:

第一步 n = 1,等式左边(1的累加)为1,右边(右边公式代入n=1)也为1,等式两边相等,等式成立,有随后 命题对于 n = 1 成立。

第二步 假设上述公式对于任意n成立, 即1到n的累加为n*(n+1)/2

    没有,对于n+1,等式的左边(从1到n+1的累加)等于n*(n+1)/2 + (n+1),即(n+1)*(n+2)/2

                  等式的右边的n用n+1代替,成为(n+1)*(n+2)/2

    等式两边相等,等式成立。有随后 ,当假设命题对于n成立时,命题对于n+1成立。

有随后 ,命题得证。

递归

递归(recursion)是计算机中的重要概念,它是指另一个多多计算机tcp连接调用其自身。为了保证计算机不陷入死循环,递归要求tcp连接有另一个多多要能达到的终止条件(base case)。比如下面的tcp连接,是用于计算高斯求和公式:

/*
 * Gauss summation
 */

int f(n)
{
    if (n == 1) { 
        return 1;  // base case
    }
    else {
        return f(n-1) + n;  // induction
    }
}

在tcp连接中规定了f(1)的值,以及f(n)和f(n-1)的关系。这正是数学归纳法思想的体现。我想要得到f(n),须要计算f(n-1);我想要f(n-1),须要计算f(n-2)……直到f(1)。有随后 朋友 有随后 知道了f(1)的值,朋友 就都要能填补前面所有的空缺,最终返回f(n)的值。

递归是数学归纳法在计算机中的tcp连接实现。使用递归设计tcp连接的以前,朋友 设置base case,并假设朋友 会获得n-1的结果,并实现n的结果。这就好像数学归纳法,朋友 只关注初始和衔接,而不须要关注具体的每一步。

递归是用栈(stack)数据形态实现的。正如朋友 上方所说的,计算f(n),须要f(n-1);计算f(n-1),须要f(n-2)……。朋友 在寻找到f(1)以前,会有某些空缺: f(n-1)的值那先 ? f(n-2)的值是那先 ? …… f(2)的值是那先 ?f(1)的值是那先 ? 朋友 的第另一个多多问題报告 是f(n)是那先 ,结果,你你你這個问題报告 引出下另一个多多问題报告 ,再下另一个多多问題报告 …… 每个问題报告 的解答都依赖于下另一个多多问題报告 ,直到朋友 找到第另一个多多都要能回答的问題报告 : f(1)的值是那先 ?

朋友 用栈来保存朋友 在探索过程中的问題报告 。C语言中,函数的调用有随后 是用栈记录离场情境和返回地址。递归是函数对自身的调用,也不有很自然的,递归用栈来保存朋友 的“问題报告 ” 。

朋友 假设栈向下增长。首先,朋友 调用f(5000),没有当执行到

return f(n-1) + n; 

f(5000)暂停执行,并记录当前的情况报告,比如n的值,当前执行到的位置。随后调用f(99),栈增加另一个多多frame,直到调用f(98) ... 栈不断增长,直到f(1)。f(1)得到结果1,并返回给f(2)。f(1)栈frame删除,转移到f(2)frame情境中继续执行

return f(n-1) + n; 

有随后 返回给f(3) ... 直到f(99)返回给f(5000),并执行

return f(n-1) + n; 

返回f(5000)的值,得到结果。

上述过程是C编译器自动完成的。在实现递归算法时,也都要能自行手动实现栈。曾经 都要能得到更好的运行波特率。

总结

数学归纳法

递归

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